n次元変数の可視化は地球（儀）と地図の関係に似ている

「最適化の基礎と応用」という講習会に参加して、最適化および多目的最適化の事例をいろいろ教えてもらった。はるばる（というほどじゃないけど）名古屋までいった甲斐あって、勉強になった。

自分なりにまとめたこと。

多目的最適化のパレート解や、それを構成する設計変数群は、n次元空間上の点で与えられる。特に設計変数の場合、nはたいてい3以上。
しかし人間は、2次元以上の情報を理解することが非常に困難である。3次元でもきつい。

（「それはおまえがバカなだけだ、俺は5次元でも6次元でも、データを見れば関係性を理解できるぞ」という方はいらっしゃいますでしょうか?）

そのため、いろいろな手法を使って、n次元空間上の点の分布を、2次元のマップに置き換える。2次元＋色分けするなどいろいろ工夫はする。
しかし次元を落とすので、どこかの情報が落ちたり、誤差が入ったりする。

これはちょうど、地球（儀）と地図の関係に似ている。

地図には○×図法というのがある。メルカトル図法とかモルワイデ図法とか。それぞれの図法には一長一短があり、ある図法は東西方向と南北方向が地図上で直交しないけど、面積比は正しく表現される、ある図法はその逆、といった特徴がある。
球面上の情報を平面に投影するので、歪みは必ず発生する。
（これは中学で習うんだったかと思う。）

n次元空間を2次元に投影するのは、球面を平面に投影するよりももっと難しいので、いろいろな無理がある。そこをがんばって、重要な（と思われる）情報をなるべく保存し－ここも「なるべく」とか「できるだけ」だが－投影する。どの情報を重視するかや、「なるべく」をどう実現するかによって、異なる投影図ができあがる。

可視化手法等によって結果の違いが出たり、解釈に主観が入ることは、上のような理由から、避けようがない。試行錯誤によって適切な可視化手法、解釈を見つけていくしかない。

…と理解したのだが、合っているだろうか。